[fusion_builder_container hundred_percent=”no” hundred_percent_height=”no” hundred_percent_height_scroll=”no” hundred_percent_height_center_content=”yes” equal_height_columns=”no” menu_anchor=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” status=”published” publish_date=”” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_position=”center center” background_repeat=”no-repeat” fade=”no” background_parallax=”none” enable_mobile=”no” parallax_speed=”0.3″ video_mp4=”” video_webm=”” video_ogv=”” video_url=”” video_aspect_ratio=”16:9″ video_loop=”yes” video_mute=”yes” video_preview_image=”” border_size=”” border_color=”” border_style=”solid” margin_top=”” margin_bottom=”” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=””][fusion_builder_row][fusion_builder_column type=”1_1″ layout=”1_1″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]
Диференціальні рівняння
[/fusion_text][/fusion_builder_column][/fusion_builder_row][/fusion_builder_container][fusion_builder_container hundred_percent=”no” hundred_percent_height=”no” hundred_percent_height_scroll=”no” hundred_percent_height_center_content=”yes” equal_height_columns=”no” menu_anchor=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” status=”published” publish_date=”” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_position=”center center” background_repeat=”no-repeat” fade=”no” background_parallax=”none” enable_mobile=”no” parallax_speed=”0.3″ video_mp4=”” video_webm=”” video_ogv=”” video_url=”” video_aspect_ratio=”16:9″ video_loop=”yes” video_mute=”yes” video_preview_image=”” border_size=”” border_color=”” border_style=”solid” margin_top=”” margin_bottom=”” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=””][fusion_builder_row][fusion_builder_column type=”1_3″ layout=”1_3″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_imageframe image_id=”1556|medium” max_width=”250px” style_type=”” blur=”” stylecolor=”” hover_type=”zoomout” bordersize=”” bordercolor=”” borderradius=”” align=”center” lightbox=”no” gallery_id=”” lightbox_image=”” lightbox_image_id=”” alt=”” link=”” linktarget=”_self” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”img-courses” id=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=””]https://geometry.knu.ua/wp-content/uploads/2021/06/course6-300×169.jpg[/fusion_imageframe][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]
Освітній ступінь бакалавра
Галузь знань 11 «Математика та статистика»
Спеціальність 111 «Математика»
Освітня програма «Математика»
Форма навчання денна
Курс 2
Семестр 1-2
[/fusion_text][fusion_code]PGRpdiBzdHlsZT0id2lkdGg6IDMwMHB4OyBoZWlnaHQ6IDQ1MHB4OyBib3JkZXI6IDFweCBzb2xpZCBibGFjazttYXJnaW4tYm90dG9tOiAzMHB4OyI+IDwvZGl2Pg==[/fusion_code][/fusion_builder_column][fusion_builder_column type=”2_3″ layout=”2_3″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]
Метою та завданням навчальної дисципліни «Диференціальні рівняння» є ознайомлення з основними поняттями та положеннями теорії диференціальних рівнянь, характерними прикладами її застосувань, оволодіння базовими теоретичними та практичними методами дослідження та розв’язування окремих класів диференціальних рівнянь, підготовка студентів до використання диференціальних рівнянь в подальших навчальних курсах, створення бази для подальшого поглибленого вивчення спеціальних розділів теорії диференціальних рівнянь та застосування диференціальних рівнянь при розв’язанні прикладних задач, сприяння розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.
[/fusion_text][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]
Основний зміст курсу
- Виникнення та основні поняття теорії звичайних диференціальних рівнянь. Історична довідка. Геометричні та фізичні задачі, які приводять до звичайних диференціальних рівнянь. Означення диференцiального рiвняння 1-го порядку. Розв’язок. Задача Кошi. Поле напрямів. Інтегральна крива. Інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку.Рiвняння з вiдокремлюваними змiнними. Заміни змінних в диференціальних рівняннях 1-го порядку. Однорiдне та квазiоднорiдне рiвняння. Лiнiйне рiвняння. Рiвняння Бернуллi. Рівняння Ріккаті.
- Рiвняння в повних диференцiалах. Означення рівняння в повних диференціалах. Точні та замкнені диференціальні форми. Інтегрування в квадратурах. Iнтегрувальний множник. Означення інтегрувального множника. Його існування та неєдиність. Деякi способи вiдшукання інтегрувального множника.
- Теореми Пеано та Пiкара. Ламані Ейлера. Формулювання теореми Пеано. Зведення задачі Коші до інтегрального рівняння. Метод послідовних наближень. Теорема Пікара. Обґрунтування збіжності методу послідовних наближень. Оцінка відхилення точного і наближеного розв’язку. Єдиність розв’язку. Продовження розв’язку початкової задачi. Теорема про продовження графіка розв’язку за межі компакту. Непродовжувані розв’язки.
- Елементи геометричного аналізу розв’язків рівнянь першого порядку. Теорема Кнезера. Теорема про порiвняння та її застосування до задачi про продовження розв’язку. Iзоклiни, областi зростання, спадання, опуклостi, вгнутостi iнтегральних кривих.
- Симетричні рівняння та автономні системи на площині. Поле напрямів та рівняння в симетричній формі. Векторнi поля та автономнi системи на площинi. Фазовi кривi. Зв’язок з рiвнянням у симетричнiй формi (рiвнянням Пфаффа). Модель Лотки-Вольтерри. Її інтегрування та дослідження фазового портрету. Особливi точки. Лiнеаризацiя рівняння Пфаффа та автономної системи в околi особливої точки. Лiнеаризована система. Типи її фазових портретiв: вузол, сiдло, вироджений та дикритичний вузли, фокус, центр. Формулювання теореми Гробмана-Хартмана. Про проблему центра і фокуса.
- Рiвняння, не розв’язанi вiдносно похiдної (неявні рівняння). Теорема iснування та єдиностi розв’язку неявного рівняння. Особливiсть поняття єдиностi розв’язку. Метод параметризації. Рівняння Лагранжа та Клеро.Геометрична інтерпретація неявного рівняння. Особливі розв’язки. Геометрична iнтерпретацiя. Контактна площина. Регулярна точка. Дискримiнантнi кривi та особливi розв’язки. Методи вiдшукання особливих розв’язкiв. Необхiднi, а також достатнi умови iснування особливих розв’язкiв. Особливi розв’язки рiвняння Клеро.
- Інтегрування та зниження порядку диференціальних рівнянь вищих порядків. Способи зниження порядку диференцiальних рiвнянь. Типи рiвнянь, що допускають зниження порядку. Рівняння, які не містять шуканої функції та кількох перших її похідних. Неповні рівняння. Автономні рівняння. Однорідні та квазіоднорідні рівняння. Рівняння, які мають вигляд повної похідної та звідні до них.
- Лінійні диференціальні рівняння довільного порядку. Формулювання теореми iснування та єдиностi розв’язку задачі Коші. Лiнiйна залежнiсть та незалежнiсть системи функцiй. Вронскiан та необхiдна умова лiнiйної залежностi. Простiр розв’язкiв лiнiйного однорідного рівняння (ЛОР). Фундаментальна система розв’язкiв, її iснування. Властивiсть вронскiана системи розв’язкiв ЛОР. Теорема про загальний розв’язок ЛОР. Побудова ЛОР за його фундаментальною системою розв’язкiв. Однозначнiсть такої побудови. Формула Остроградського-Лiувiлля. Формула Абеля. Зниження порядку лінійного рівняння за допомогою відомого нетривіального розв’язку. ЛОР зі сталими коефіціентами. Характеристичний полiном. Комплекснозначні розв’язки. Випадок простих коренiв характеристичного полiнома. Випадок кратних коренiв характеристичного полінома. Рiвняння Ейлера. Лінійне неоднорідне рівняння (ЛНР). Структура множини розв’язкiв лiнiйного неоднорiдного рiвняння. Лiнiйне рiвняння зі сталими коефiцiєнтами та квазiполiномом у правiй частинi. Метод невизначених коефiцiєнтiв. Його обгрунтуванняв нерезонансному та резонансному випадках. Метод комплексних амплiтуд i вiдшукання частинного розв’язку рiвняння. Метод варіації довільних сталих для лінійного неоднорідного рівняння.
- Лiнiйне рiвняння другого порядку з регулярною особливою точкою.Побудова розв’язкiв у виглядi узагальнених степеневих рядiв. Структура другого лiнiйно незалежного розв’язку.
- Рiвняння Бесселя. Коливнiсть розв’язкiв лiнiйного рiвняння другого порядку. Лема про вiдсутнiсть точок скупчення нулiв його розв’язкiв. Теорема порiвняння. Теорема Штурма. Теорема про неколивнiсть. Оцiнки вiдстанi мiж нулями розв’язкiв. Теорема про iснування безлiчi нулiв на пiвосi. Крайовi задачi для лiнiйних диференцiальних рiвнянь другого порядку. Функцiя Грiна. Задача на власні значення.
- Загальна теорія лінійних однорідних систем. Теорема iснування та єдиностi розв’язку лінійної однорідної системи (ЛОС). Фазовий вектор. Лінійна система диференцiальних рiвнянь, еквiвалентна лінійному рівнянню вищого порядку. Доведення теореми про існування та єдиність розв’язку задачі Коші для ЛОР. Фундаментальна система розв’язків ЛОС, її існування. Фундаментальна матриця. Теорема про загальний розв’язок. Фундаментальна матриця. Теорема про загальний розв’язок. Формула Якобi. Лiнiйнi однорiднi системи зі сталими коефiцiєнтами. Побудова фундаментальної системи розв’язкiв. Метод Ейлера та його узагальнення. Експонента матрицi. Її властивостi та структура. Лінійні неоднорідні системи (ЛНС). Лiнiйна система зi сталою матрицею та квазiполiномiальним вiльним членом. Метод невизначених коефiцiєнтiв. Метод варiацiї довiльних сталих для ЛНС. Матрицант.
- Тема 5. Теореми про існування, єдиність, продовжуваність та характер залежності розв’язку задачі Коші від початкових даних та параметрів. Існування розв’язку задачі Коші. Теорема Пеано. Єдиність та продовжуваність розв’язків. Локальна умова Лiпшіца та теорема про єдинiсть розв’язку задачi Кошi. Теорема Пікара. Продовжуваність розв’язків. Поняття про коректність задачі Коші. Теорема про стiйкiсть на відрізку розв’язку задачi Кошi вiдносно збурень початкових даних та правих частин. Залежність розв’язків від початкових даних та параметрів. Неперервна залежнiсть розв’язку задачi Кошi вiд початкових даних та параметрiв у природнiй областi визначення. Теореми про диференцiйовнiсть розв’язку задачi Кошi за початковими значеннями, за початковими даними та параметрами. Система у варiацiях. Існування вищих похідних розв’язків за початковими даними та параметрами. Асимптотичнi розвинення розв’язкiв за незалежною змiнною та за параметрами.
- Стiйкiсть за Ляпуновим. Асимптотична стiйкiсть. Стiйкiсть лiнiйних систем. Стiйкiсть лiнiйної системи зi сталою матрицею. Теорема про стiйкiсть за першим наближенням. Основи прямого методу Ляпунова в теорії стійкості. Знаковизначені функцiї. Перша теорема Ляпунова про стiйкiсть. Теорема про асимптотичну стiйкiсть. Теорема Ляпунова про асимптотичну стiйкiсть. Приклади застосування теорем про стійкість. Про теорему Четаєва про нестійкість та теорему про нестійкість за першим наближенням.
- Першi iнтеграли нормальних систем. Означення першого інтеграла. Його геометричний змiст. Аналiтичний критерiй iнтеграла. Функціонально незалежнi першi iнтеграли. Умова незалежностi перших iнтегралiв. Теорема про вiдшукання розв’язку задачi Кошi за допомогою повного набору перших iнтегралiв. Перші інтеграли автономних систем та систем в симетричній формі. Автономна система та вiдповiдна система у симетричнiй формi. Зв’язок мiж фазовими кривими першої та iнтегральними кривими другої. Першi iнтеграли автономної системи та системи у симетричнiй формi. Аналiтичний критерiй автономого iнтеграла. Iнтегровнi комбiнацiї. Приклад: Рівняння Ейлера руху тіла навколо точки закріплення.
- Відшукання загальних розв’язків лінійних та квазілінійних лінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку. ЛОР з частинними похiдними першого порядку. Система характеристик. Загальний розв’язок. Квазiлiнiйне рiвняння з частинними похiдними першого порядку. Система характеристик. Iнтегральнi поверхнi системи характеристик як розв’язки. Задача Кошi для рiвняння з частинними похiдними першого порядку та її розв’язання методом характеристик. Теорема існування локального розв’язку задачі Коші. Рiвняння Гопфа.
[/fusion_text][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]
Рекомендована лiтература
- Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. – Київ: Либідь, 2003 (3-е видання Київ: ВПЦ “Київський університет”, 2010)
- Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах – Київ:Либідь, 2003
- Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1985.
- Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи./ Упорядн. В.М. Бурим та ін. – К.: ВПЦ Київський університет, 2000.
- Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння першого та вищих порядків”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1981.
- Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння вищого порядку та системи диференціальних рівнянь”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1982.
- Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ: Либідь, 2004.
- Гудименко Ф.С. Збірник задач з диференціальних рівнянь / Ф.С. Гудименко, І.А. Павлюк, В.О. Волкова. – вид.2-ге, перер. і допов. – Київ : Вища школа, 1972. – 156с.
- Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М. Наука, 1984.
- Кривошея С.А., Перестюк М.О., Бурим В.М. Диференціальні та інтегральні рівняння – Київ: Либідь, 2004.
- Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1958.
- Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1967.
- Іщук В.В., Позур С.В., Капустян О.В., Мельничук О.В. Крайові задачі – К., 2005. – 35с.
[/fusion_text][/fusion_builder_column][/fusion_builder_row][/fusion_builder_container][fusion_builder_container hundred_percent=”no” hundred_percent_height=”no” hundred_percent_height_scroll=”no” hundred_percent_height_center_content=”yes” equal_height_columns=”no” menu_anchor=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” status=”published” publish_date=”” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_position=”center center” background_repeat=”no-repeat” fade=”no” background_parallax=”none” enable_mobile=”no” parallax_speed=”0.3″ video_mp4=”” video_webm=”” video_ogv=”” video_url=”” video_aspect_ratio=”16:9″ video_loop=”yes” video_mute=”yes” video_preview_image=”” border_size=”” border_color=”” border_style=”solid” margin_top=”” margin_bottom=”” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=””][fusion_builder_row][fusion_builder_column type=”1_1″ layout=”1_1″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]
Всі курси та програми
[/fusion_text][/fusion_builder_column][/fusion_builder_row][/fusion_builder_container]