Диференціальна геометрія та топологія – Сайт кафедри геометрії

Сайт кафедри геометрії

Диференціальна геометрія та топологія

[fusion_builder_container hundred_percent=”no” hundred_percent_height=”no” hundred_percent_height_scroll=”no” hundred_percent_height_center_content=”yes” equal_height_columns=”no” menu_anchor=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” status=”published” publish_date=”” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_position=”center center” background_repeat=”no-repeat” fade=”no” background_parallax=”none” enable_mobile=”no” parallax_speed=”0.3″ video_mp4=”” video_webm=”” video_ogv=”” video_url=”” video_aspect_ratio=”16:9″ video_loop=”yes” video_mute=”yes” video_preview_image=”” border_size=”” border_color=”” border_style=”solid” margin_top=”” margin_bottom=”” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=””][fusion_builder_row][fusion_builder_column type=”1_1″ layout=”1_1″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]

Диференціальна геометрія та топологія

[/fusion_text][/fusion_builder_column][/fusion_builder_row][/fusion_builder_container][fusion_builder_container hundred_percent=”no” hundred_percent_height=”no” hundred_percent_height_scroll=”no” hundred_percent_height_center_content=”yes” equal_height_columns=”no” menu_anchor=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” status=”published” publish_date=”” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_position=”center center” background_repeat=”no-repeat” fade=”no” background_parallax=”none” enable_mobile=”no” parallax_speed=”0.3″ video_mp4=”” video_webm=”” video_ogv=”” video_url=”” video_aspect_ratio=”16:9″ video_loop=”yes” video_mute=”yes” video_preview_image=”” border_size=”” border_color=”” border_style=”solid” margin_top=”” margin_bottom=”” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=””][fusion_builder_row][fusion_builder_column type=”1_3″ layout=”1_3″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_imageframe image_id=”1554|medium” max_width=”250px” style_type=”” blur=”” stylecolor=”” hover_type=”zoomout” bordersize=”” bordercolor=”” borderradius=”” align=”center” lightbox=”no” gallery_id=”” lightbox_image=”” lightbox_image_id=”” alt=”” link=”” linktarget=”_self” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”img-courses” id=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=””]https://geometry.knu.ua/wp-content/uploads/2021/06/course3-300×169.jpg[/fusion_imageframe][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]

Освітній ступінь бакалавра

Галузь знань 11 «Математика та статистика»

Спеціальність 111 «Математика»

Освітня програма «Математика»

Форма навчання денна

Курс 2

Семестр 1-2

[/fusion_text][fusion_code]PGRpdiBzdHlsZT0id2lkdGg6IDMwMHB4OyBoZWlnaHQ6IDQ1MHB4OyBib3JkZXI6IDFweCBzb2xpZCBibGFjazttYXJnaW4tYm90dG9tOiAzMHB4OyI+IDwvZGl2Pg==[/fusion_code][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]

Освітній ступінь бакалавра

Галузь знань 11 «Математика та статистика»

Спеціальність 111 «Математика»

Освітня програма «Математика»

Форма навчання заочна

Курс 3

Семестр 1-2

[/fusion_text][fusion_code]PGRpdiBzdHlsZT0id2lkdGg6IDMwMHB4OyBoZWlnaHQ6IDQ1MHB4OyBib3JkZXI6IDFweCBzb2xpZCBibGFjazttYXJnaW4tYm90dG9tOiAzMHB4OyI+IDwvZGl2Pg==[/fusion_code][/fusion_builder_column][fusion_builder_column type=”2_3″ layout=”2_3″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]

Метою та завданням навчальної дисципліни «Диференціальна геометрія та топологія» є навчитися досліджувати геометричні та топологічні властивості кривих, поверхонь, многовидів за допомогою методів диференціального числення, досліджувати топологічні простори та визначати їх топологічні властивості.

[/fusion_text][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]

Основний зміст курсу

  1. Топологічний простір. Відкриті множини. Топологічна структура метричного простора. Приклади: тривіальна, дискретна, коскінчена топологія.
  2. Окіл. Критерій відкритості множини. База та передбаза. Критерії бази. Сильніша та слабкіша топології.
  3. Індукована топологія та підпростір.
  4. Замкнені множини. Замикання та внутрішність. Скрізь щільні множини. Межа множини.
  5. Неперервне відображення. Критерії неперервності. Збіжність у топологічних просторах. Гомеоморфізм.
  6. Розбиття простору. Зв’язність. Критерій зв’язності. Компоненти зв’язності. Неперервний образ зв’язного простору.
  7. Шлях, лінійна зв’язність. Зв’язність лінійно зв’язного простору. Приклад зв’язного, але лінійно незв’язного простору.
  8. Тихонів добуток, факторпростір.
  9. Аксіоми відокремлюваності. Критерій Т1-простору. Хаусдорфовий та нормальний простори. Нормальність метричного простору.
  10. Лема Урісона.
  11. Теорема Тітце-Урісона про існування неперервного продовження.
  12. Покриття та підпокриття. Компактні простори. Властивості. Теорема про неперервний образ компактного простору.
  13. Теорема Тихонова про топологічний добуток компактних просторів.
  14. Компактифікація. Локально-компактний простір. Теорема про існування одноточкової компактифікації.
  15. Гомотопія як відношення еквівалентності. Гомотопічний тип. Стяжні простори. Ретракти.
  16. Фундаментальна група. Залежність від точки. Гомоморфізм фундаментальних груп, що породжений неперервним відображенням. Фундаментальна група гомотопічно еквівалентних просторів.
  17. Вектор-функція. Неперервна крива. Гладка крива. Проста та замкнена криві.
  18. Дотичний вектор. Регулярна точка. Еквівалентні параметризації.
  19. Дотична. Рівняння дотичної.
  20. Довжина кривої. Рівність довжин у еквівалентних кривих. Натуральна параметризація, її властивості.
  21. Базис Френе кривої в R3. Тригранник Сере-Френе.
  22. Кривина та скрут кривої.
  23. Рівняння дотичної та нормалі кривої на площині.
  24. Орієнтована кривина. Формула для знаходження орієнтованої кривини кривої на площині.
  25. Особливі точки лінії, що задані загальними рівняннями.
  26. Дотикання кривих. Дотикаюче коло. Центр кривини. Обвідна. Еволюта та евольвента. Їх рівняння.
  27. Базис Френе кривої в Rn Формули Френе.
  28. Неперервна та гладка системи координат в області в Rn. Матриця Якобі. Регулярна СК. Функції заміни координат.
  29. Закон перетворення координат дотичного вектора при заміні криволінійної системи координат. Евклідова метрика в криволінійній СК.
  30. Ріманова метрика і скалярний добуток. Псевдоріманова метрика. Псевдоевклідів простір, псевдосфера. Простір Мінковського.
  31. Еліптична (проективна) геометрія. Група ізометрій проективної площини.
  32. Гіперболічна геометрії (геометрія Лобачевського), отримана з псевдосфери. Модель Пуанкаре та модель верхньої півплощини геометрії Лобачевського.
  33. Неперервна параметрична поверхня в тривимірному просторі. Гладкі поверхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Криві на поверхнях, координатні лінії. Дотичний вектор. Особливі (сингулярні) та регулярні точки. Регулярні поверхні. Дотичний простір. Орієнтовані поверхні.
  34. Поверхні. Перша квадратична форма, її компоненти. Довжина дуги та кут між кривими на поверхні.
  35. Ізометрія. Теорема про рівність перших квадратичних форм ізометричних поверхонь. Група ізометрій.
  36. Друга квадратична форма, нормальна кривина. Головні кривини. Індикатриса Дюпена.
  37. Гаусова та середня кривини. Класифікація точок на поверхні. Теорема Меньє.
  38. Дериваційні рівняння Вейнгартена-Гаусса. Символи Кристофеля. Теорема Родріга.
  39. Формули Гауса та Петерсона-Кодацці. Теорема Гауса. Теорема Боне.
  40. Класифікація напрямків у точці. Лінії кривини та асимтотична лінії.
  41. Геодезична кривина. Геодезичні лінії. Їх рівняння.
  42. Властивості геодезичних ліній. Коваріанта похідна дотичного векторного поля. „Паралельний” перенос дотичного вектора вздовж кривої на поверхні.
  43. Теорема Гауса-Боне. Поверхні сталої кривини. Приклади та властивості. Сума кутів геодезичного трикутника.
  44. Неперервна та гладка параметричні поверхні розмірності k. Регулярні поверхні. Заміна параметризації. Дотичний вектор. Дотичний простір.
  45. Заміна координат вектора при заміні параметризації. Гіперповерхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Регулярні відображення поверхонь. Еквівалентність поняття регулярності для різних способів задання поверхні. Орієнтовані поверхні.
  46. Гладкі многовиди. Добуток гладких многовидів. Гладкі функції та відображення гладких многовидів. Дифеоморфізм. Матриця Якобі відображення. Рівність розмірностей дифеоморфних многовидів. Перенесення гладкої структури гомеоморфізмом. Теорема про неявну функцію для многовидів. Підмноговиди.
  47. 3 означення дотичного вектора. Дотичний простір.
  48. Диференціал відображення (відображення захоплення). Регулярні та критичні точки. Регулярні та критичні значення. Субмерсія. Теорема про прообраз регулярного значення.
  49. Занурення (імерсія). Вкладення. Існування вкладення замкненого многовида в евклідів простір.
  50. Орієнтований многовид. Теорема класифікації тріангульованих 2-вимірних многовидів.
  51. Координатне, інваріантне та лінійне означення тензорів.
  52. Лінійні комбінації, перестановка індексів, згортка, тензорний добуток, опускання та підняття індексів, симетрування та альтернація.
  53. Евклідова та афінна зв’язності, коваріантна похідна за напрямком. Алгебраїчні властивості коваріантного диференціювання. Ріманова зв’язність (зв’язність Леві-Чевіта). Паралельний перенос. Тензор кривини (координатне означення).
  54. Зовнішні диференціальні форми як кососиметричні коваріантні тензори. Зовнішній добуток. Диференціал. Когомології де Рама. Їх гомотопічні властивості.

[/fusion_text][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]

Рекомендована лiтература

  1. О.А.Борисенко. Диференціальна геометрія та топологія. Х. 1995.
  2. Н. И. Кованцов, Г. М. Зражевская, В. Г. Кочаровский, В. И. Михайловский, Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сб. задач, К., 1989.
  3. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии, М, 1980.
  4. О.О.Пришляк. Диференціальна геометрія. К. 2004.
  5. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Лекции по классической дифференцальной геометрии. http://dfgm.math.msu.su/files/IvaTuzTerm1.zip
  6. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Тензорный анализ на многообразиях. http://dfgm.math.msu.su/files/ivtz2-05.rar
  7. Н. И. Кованцов. Дифференциальная геометрия. К. 1973.
  8. Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин, Дифференциальная геометрия. Первое знакомство, М, 1990.
  9. П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, М, 1956.

[/fusion_text][/fusion_builder_column][/fusion_builder_row][/fusion_builder_container][fusion_builder_container hundred_percent=”no” hundred_percent_height=”no” hundred_percent_height_scroll=”no” hundred_percent_height_center_content=”yes” equal_height_columns=”no” menu_anchor=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” status=”published” publish_date=”” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_position=”center center” background_repeat=”no-repeat” fade=”no” background_parallax=”none” enable_mobile=”no” parallax_speed=”0.3″ video_mp4=”” video_webm=”” video_ogv=”” video_url=”” video_aspect_ratio=”16:9″ video_loop=”yes” video_mute=”yes” video_preview_image=”” border_size=”” border_color=”” border_style=”solid” margin_top=”” margin_bottom=”” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=””][fusion_builder_row][fusion_builder_column type=”1_1″ layout=”1_1″ spacing=”” center_content=”no” link=”” target=”_self” min_height=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=”” background_color=”” background_image=”” background_image_id=”” background_position=”left top” background_repeat=”no-repeat” hover_type=”none” border_size=”0″ border_color=”” border_style=”solid” border_position=”all” padding_top=”” padding_right=”” padding_bottom=”” padding_left=”” margin_top=”” margin_bottom=”” animation_type=”” animation_direction=”left” animation_speed=”0.3″ animation_offset=”” last=”no”][fusion_text columns=”” column_min_width=”” column_spacing=”” rule_style=”default” rule_size=”” rule_color=”” hide_on_mobile=”small-visibility,medium-visibility,large-visibility” class=”” id=””]

Всі курси та програми

[/fusion_text][/fusion_builder_column][/fusion_builder_row][/fusion_builder_container]